用算法熵來證明“科學是可證偽”觀點的錯誤性
作者：planeheart
相信列位都對波普爾的證偽主義主張有所瞭解。概括而言，該主張認為：
一個理論是科學的，因為它可以被證偽。
該主張的關鍵論據之一在於證實和證偽的不對稱性。其論證大致如下：科學命題都是全稱命題，而全稱命題的證實都是極度困難的，而證偽則相對容易。作為一個例子：天下烏鴉一般黑的主張，只需一隻白烏鴉的存在就能否定。
基於該主張甚至可以得出一些看似合理的結論，例如：若我們從黑箱中摸球，前面100只摸到的都是紅球，那麼以下兩個假定（均與目前的觀察結果吻合）：
“（1）黑箱中都是紅球”
,（2）黑箱中存在各種顏色的球‘
中， 我們更應該接受（1），因為這樣使得理論顯得簡單且更容易被證偽。（波普爾認為，歸納推理對科學而言是不必要的，原則上可以用證偽主義的原則來選擇接受的 理論）容易看出，如果第101只球是綠球，那麼（1）即被證偽，但（2）並沒有被證偽，所以（1）具有更強的可證偽性。
通過一些粗糙的類比推理，證偽主義理論還能以一種詭異的方式和奧卡姆剃刀取得共鳴，即：簡單的理論傾向於極端，也即是容易證偽。因此通常應該選擇儘可能簡單的理論。
證偽主義理論本身在科學哲學領域也飽受批評，在此不提。因為本文作者認為這些批評沒有擊中這個理論真正的要害，也沒能找到足夠好的彌補方式，真正的問題在於：
它試圖主張的證實和證偽的不對稱性其實在科學中是不存在的。其錯因在於其前件”科學命題都是全稱命題“並不正確，顯然，”二維強關聯體系中允許存在不服從玻色和費米統計的準粒子“並不是全稱命題，而且剛好相反，這類命題的證偽極度困難，而證實相對容易。這使得證偽主義相對於實證主義的所謂優勢喪失殆盡。
甚 至用減弱的版本說”作為科學理論的基本原理必須是全稱命題““也不正確，因為實際上允許我們用特稱命題的形式來表述其中一些原理，例如，存在完備描述物理 體系的拉格朗日函數。即便依然存在不少似乎只能以全稱命題形式出現的原理，也很難看出以後不存在改造表述的可能性。更重要的是，全稱命題通常很難證實，但 並非一定不可能證實。
證 偽主義者將證實全稱命題的難度上升為”不可能“的理由是認識對象的無限性，但是這種無限性本身就不是能從純粹的演繹推理中得出的結論。（天下的烏鴉數目確 實不是無限的）這導致他們背離了原有的主張。而關於物理中可以被稱作”認識對象“的數目是否為無限，尚存在嚴重的爭議。（如果將貝肯斯坦極限用於可觀測宇 宙整體，那麼用於描述它的最低信息量，以bit計，是有限的）
因此，實際上證偽主義者的自相矛盾發生在他們試圖論證科學命題的特性的過程中，沒有成功地從純粹邏輯的角度支持他們的論點，卻主張他們的論點不依賴歸納。
因此本文作者打算從隨機性，而非可錯性的角度來看整個問題。
所謂算法熵，即一般信息論教材所稱“科爾莫格洛夫複雜度”
Martin- lof隨機性是對無限長的0-1二元序列定義的。對於有限長的0-1序列，因為算法熵的定義依賴於通用機U的選取，因此該定義對有限序列的存在侷限性：結 果依賴於對U的選取。然而對無限長的序列，選取任意U均會給出相同的結果（這稱作算法熵的普適性），因此，該定義雖然需要提及通用機，但本質上不依賴通用 機。
該隨機性的確具有非常有趣的不對稱性：
（1）我們可以證明絕大多數的序列是隨機的。（確切而言，非隨機的序列構成零測集）
（2）我們可以證明某一個特定的序列不是隨機的（例如010101……的循環序列）
（3）我們不能證明某一個特定的序列是隨機的（這有點像這樣的例子：根號2在二進制下的表達的前N位，很難將它和用拋硬幣得出的0-1序列區分開來）
其中（3）由Chaitin不完備性定理所保證（此人定義了著名的Chaitin常數）：
對任意公理化形式系統A，均存在常數L，使得我們在A中無法對任意s證明K(s)>L
因此，這種不對稱性如果被用於替代原有證偽主義理論中的證實-證偽不對稱性，將比原本的論證更加可靠，因為它不依賴於可疑的”認識對象的無限性“這種外加的東西，而是來自於普遍存在於任意公理化形式系統中的不完備性（或者說，哥德爾不完備性的一部分）。
我 們很容易發現這個論證用於說明原本的例子會比證偽主義理論做得更好，而且它反映”人類偏好簡單理論“的方式更加自然。因為粗略地說，算法熵對應著描述的復 雜度。在前面的論證中，接受”（1）黑箱中都是紅球“的理由現在是它比”（2）黑箱中存在各種顏色的球“的算法熵更低，因此更遠離“隨機”。從觀察到有限 數目的黑烏鴉而得出“天下烏鴉一般黑”的緣由也是同理的。在這個理論中，人類追尋科學真理的目的被歸結於從混沌的宇宙中構建秩序，以避開知識體系由“完全 隨機”支配的可能。
利 用以上的方法建立模型的理論已經存在了，這就是所謂“最小描述長度”（MDL）準則。然而將這種理念推廣到一般還存在巨大的困難，由於：（1）算法熵的不 可計算性。（2）對一般的認識對象，而非二元序列或者整數等數學對象，很難定義算法熵（Zurek提出了將算法熵用於物理描述的可能性，並認為它實質上與 物理學中的吉布斯熵存在對應關係，這便是本文沿用其說法將其稱作算法熵，而非科爾莫格洛夫複雜度的理由）。然而，證偽主義理論中“時空區域的無限性”等說 法同樣是高度可疑無檢驗性的表述，因此我以為這樣的改造能夠在保留其初衷（證明一個命題及其反面的不對稱性）的前提下，修正其偏激的段落。
附註：
問題：對於無窮序列，它的複雜度不依賴於通用圖靈機？
答案：