七政四餘中四餘的由來
中國古代天文、術數中的四餘，多與日、月在天球上有關但在自印度傳入之後，其定義漸生變化。四餘中的羅喉(Rahu)及計都(Ketu)均為梵 語的音譯，傳說羅喉本為統領眾魔的龍，曾與天神們聯合對抗惡魔Ananta，但在高奏凱歌之際，他卻趁大家不備，偷喝了聖液，不料其罪行被太陽和月亮看 見，就向眾神告發，於是天神Vishnu趕去奮力將羅喉的頭切下，然而此時聖液已在羅喉的體內發生作用，令其得以如同星體般永恆不滅，自此羅喉的頭以及他 的身體—計都，即成為日、月兩曜永不妥協的敵人，只要環境許可，他們即試圖吞噬太陽和月亮，造成日、月食的現象，而計都的尾巴有時亦會以彗星的形貌出現在 世人之前。
在中國，羅喉之名通常均以為最早見於唐開元六年(718)瞿曇悉達奉詔所譯的《九執歷》，所謂九執即九曜，指七政（日、 月、五星）及羅喉、計都兩隱曜。開元八年，南宮說奏稱在己所編修的《九曜佔書》中，必須量校星象，故請造渾天圖，玄宗許之。南宮說為當世著名的天文家，稍 後曾治《乙巳元歷》，並擔任過太史丞。由《九曜佔書》的書名，可知羅、計的躔度及其星佔意義，應已漸為當時的中土天文家重視。另一位著名的天文家僧一行 (683-727)，相傳更曾大量引進佛經中以羅、計佔算吉凶的術法，如在《續藏經》所收題為一行撰著的《梵天火羅九曜》、《北斗七星護摩法》及《熾盛光 要法》中，即細述如何在隱密處畫形供養此兩曜以禳災。
由西天竺國婆羅門僧金俱吒所撰集的《七曜攘災決》，是在第九世紀初被譯介入中國的，此書中對羅、計兩曜曾提出相當具體的定義，曰：
羅喉，遏羅師者，一名黃幡，一名蝕神頭，一名復，一名太陽首。常隱行不見，逢日月則蝕，朔望逢之必蝕，與日月相對亦蝕……對人本宮，則有災禍，或隱覆不通， 為厄最重。常逆行於天，行無徐疾，十九日行一度，一月行一度十分度之六，一年行十九度三分度之一，一年半行一次，十八年一周天退十一度三分度之二，凡九十 三年一大終而復始。
由其中「逢日月則蝕」的敘述，我們可推斷此書中應是以羅喉為黃道與白道相交的兩點之一。
由於地球的赤道部分較為鼓起，故會對月亮的噝熊壍喇a生攝動(Perturbation)，而導致黃、白交點的連發生轉動，其方向則與月繞地的公轉方向 相反，此即現代天文學中所稱的交點退行(Regression of the Nodes)，而其週期即所謂的章動週期(Nutation Period)，今測約為18.61年。此一黃白交點向西退行的現象，早在東漢末年就已由劉洪所發現，劉洪以為此點乃依每27683/1488 (= 18.60417)日退行一度的均勻速率邉櫻嗉匆恢芴旒s需18.60年。而《七曜攘災決》中所稱的「一年行十九度三分度之一」，相當於一周天 18.62年，此與章動週期相當接近，更證實羅喉確為黃白交點之一。又據該書中所記元和元年(806)之後共93年的羅喉躔度推斷，當時乃定義羅喉所在為 黃、白道兩交點中的升交點。
在《九執歷》中，羅喉又被稱為「阿修」，此歷以顯慶二年(657)二月初一日為歷首，其中記阿修的噝羞L 期為6794日（約合18.60年），並稱阿修在歷首時乃位於「五相二十四度四十分」，由於一相即30度，故約合黃經174.7度，經以現代天文知識回推 白道升交點的位置後，發現其在歷首的平行黃經(Mean Longitude)應為175.9度，顯然此歷亦是以羅喉為白道的升交點。又，我國古代雲南□族所使用的印度系統曆法，同樣是將羅喉定義成白道的升交 點。
至於計都的形性與行度，《七曜攘災決》中稱：計都，遏邏師，一名豹尾，一名蝕神尾，一名月勃力，一名太陰首。常 隱行不見，到人本宮，則有災禍，或隱覆不通，為厄最重。常順行於天，行無徐疾，九日行一度，一月行三度十分度之四，九月行一次，一年行四十度十分度之七， 凡九年一周天差六度十分度之三，凡六十二年七週天差三度十分度之四。
由其中「常順行於天」一語，知當時所定義的計都應與黃白交點無關。而計都每約九年順行一周天的邉櫻c月球近地點或遠地點的拱邉(Apsidal Motion)十分相近，經比對《七曜攘災決》一書中所記元和元年之後共62年的計都躔度後，發現計都應指的是遠地點。
此一以羅喉為白道升交點、計都為月亮遠地點的說法，亦曾隨留學僧傳入日本，現今日本尚存有兩幅早期以九曜位置佔算星命的天宮圖，年代分別系於西元1113及1268年，其中羅、計的躔度即依類似《七曜攘災決》的方式推步。
第八世紀末，嘗造《符天曆》行於民間的術者曹士蒍，相傳著有《羅計二隱曜立成歷》一書。《宋史‧藝文志》中亦出現《符天九星算法》及《符天九曜通元立成 法》等相關書名。後周世宗(954-959)時，王樸更嘗在進《欽天曆》的奏表中稱，九曜長久以來已變為「注歷之恆式」。由這些證據，可知羅、計兩曜在唐 末、五代時，應已相當受官方及民間歷家的重視。
至於四餘中的月孛及紫氣兩曜，傳入中土的時間則稍晚。據明代邢雲路所稱，四餘均出自 《都賴聿斯經》，貞元(785-804)初，此書中推十一星（指四餘及七政，又稱為十一曜）躔度的天竺歷術，始由婆羅門俊士李弼乾完整譯出，但其中的推月 孛之法，則早在一百多年前即已由李淳風(602-670)引入。此處所稱的《都賴聿斯經》，或已佚，應即《都利聿斯經》的異名同書，因據《新唐書‧藝文 志》中的記載，後者凡兩卷，為都賴（指西域康居城的都賴水）術士李彌乾於貞元中傳自西天竺，並由一名為璩公者譯成漢文，而此一李彌乾應與邢雲路所稱的李弼 乾同為一人。
邢雲路對月孛傳入中土的說法，不知有無確切的證據，經查題為李淳風所著的《乙巳佔》、《乾坤變異錄》及《玉曆通政經》等 書，或李淳風所編制的《麟德歷》中，均不曾見有隻言涉及四餘。且在其它第六、七世紀的歷算或術數文獻中，亦均不曾見有涉及月孛及紫氣的內容，故保守一點的 說法，四餘中的月孛與紫氣兩曜，或許同是在李彌乾之時始傳入中土的。
四餘之說，最初或僅在民間流傳，以為佔算吉凶之用，此故在《宋史‧藝文志》中可見到《五星六曜面部訣》之類的書名。在官方所使用的歷法中，一直到明代的《大統曆》，始正式出現推步四餘的術法。相傳在金趙知微所重修的《大明 歷》中，亦有推四餘法，惟在元初造歷時失傳，但明末耶穌會士羅雅谷(Jacques Rho; 1590-1638)嘗駁斥此說，稱：
夫金、元相去未遠，元初本承用金歷，何遽失傳？則是趙知微之猥濫如此，術及《轉神歷》皆俚鄙不經，殆耶律楚材、王恂、郭守敬諸人所諱也，何足述哉！
自印度傳入的四餘，至遲在第十一世紀時，其定義開始發生改變。如北宋沈括(1031-1095)的《夢溪筆談》一書，在討論日、月食成因時，嘗敘及羅、計曰：
黃道與月道，如兩環相疊而小差。凡日月同在一度相遇，則日為之蝕；正一度相對，則月為之虧。雖同一度，而月道與黃道不相近，自不相侵；同度而又近黃道、月道 之交，日月相值，乃相陵掩。正當其交處，則蝕而既；不全當交道，則隨其相犯溕疃g……交道每月退一度餘，凡二百四十九交而一期。故西天法羅喉、計都皆逆 步之，乃今之交道也。交初謂之「羅喉」，交中謂之「計都」。
在此，沈括直指羅、計兩曜為黃、白兩道的兩個交點。至於前引文中的 「二百四十九」之數，李約瑟(Joseph Needham)博士以為應是「三百四十九」之誤，他將「凡三百四十九交而一期」釋作乃指交點年的長度為349日，但此說似嫌牽強，因原文中所稱的「凡二 百四十九交而一期」，乃指的是「交道（黃白交點）」以每月一度餘的退行速率，在經過249個交點月後，又回到原位置的現象，而與交點年根本是風馬牛不相及 的。
元代民間學者趙友欽所撰的《革象新書》一書，更嘗明確地定義四餘，如以羅喉為降交點（由黃道面之北向南通過黃道之點，古名初交、正交、天首或陽曆口），計都為升交點（由黃道面之南向北通過黃道之點，古名中交、天尾或陰曆口），其文曰：
月行不由黃道，亦不由赤道，乃出入黃道之內外也。北有紫微垣，帝座居之，故北曰內、南曰外……月道與黃道相交處在二交之始，強名曰羅喉；交之中，強名曰計 都。自交初至於交中，月在黃道外，名曰陽曆，乃背羅向計之處也；自交中至於交初，月在黃道內，名曰陰曆，乃背計向羅之處也。
同書中亦詳載月孛及紫氣的行躔，稱：
夫月孛者，是從月之盈縮而求，盈縮一轉該二十七日五十五分四十六秒，月行三百六十八度三十七分四秒半，孛行三度一十一分四十秒半，以黃道周天之度並孛行數， 即月行處也，大約六十二年而七週天，太陰最遲之處與其同躔。夫紫氣者，起於閏法，約二十八年而周天，《授時曆》以一十日八十七分五十三秒八十四毫為歲之 閏，紫氣則一歲行一十三度五分四秒六十毫八十芒，兩數比之，乃加二之算，二十八年十閏，紫氣周行十二宮，亦加二之算也。
若以現代的天文術語表示，此書中即定義月孛為月球繞地橢圓軌道的遠地點（月行最遲之處），顯然此時中國四餘中的月孛已將原先印度傳來的計都取而代之了。
至於紫氣一曜，歷家多以為與閏餘相關，因約二十八年有十閏，故定義紫氣每二十八日行一度，亦即每二十八年行一周天。由於紫氣為四餘中唯一無天文學上具體 相應意義者，故後世亦有學者提出其它附會的解釋，如清初的天算家遊藝，雖其本身精於西法，但仍無法跳脫傳統，完全屏棄紫氣，嘗稱：「紫氣者，元算生於閏 餘，或為土、木二星相會之所，或古人以此紀直年耳，故二十八年月之閏餘而生氣一週，皆是交食之積算也」。清初另一位會通中西的天算家王錫闡 (1628-1682)，則試圖賦與紫氣較具天文意義的內涵，稱：
四餘皆緣日月躔離而生，實無星象可指，或言氣為月華、孛為彗孛者，妄也！近世有論天無紫氣者，支分縷析，反覆十有餘條，辨則辨矣，然氣失於閏，本非無因，但年遠數盈，苟不探本窮源，未易修改，況合氣與朔而成閏，是以有氣不 可無朔，術家棄朔而存氣，端緒已失，故糾紛而不可理。餘向推陽朔一行，為修改紫氣之根，而草野無製作之權，未敢輕以問世。
王錫闡在其《曆法表》一書中，亦列有〈四餘立成〉、〈四餘交宮〉及〈四餘捷法立成〉等內容，並以傳統的均勻邉油破湫卸取
雖然中國傳統均視四餘為常隱不見的星體，但卻以為在特殊的情形下，亦可如七政一般可以測得。如稱羅、計因遮掩日、月光線以成蝕象，故在交食時即為可測。 而紫氣在「王者德至於天」時，亦可能視見，此即所謂的景星或稱德星，其狀如半月，通常生於晦朔，以「助月為明」。又，當有妖孽出時，古人認為月孛亦可能視 見，其星為彗星之屬，但卻光芒四出，與一般光芒偏掃的彗星不同，見則必兇，如《春秋》中「孛見大辰」或「孛入北斗」之類的記載即屬此。
邢雲路在其《古今律歷考》一書中，即曾具體地討論如何從兩次紫氣（或月孛）出現的位置及時間，驗證其周天之數是否正確，其文曰：氣生於十閏，月生於月遲，古有此說，然二皆隱曜。孛星間見於史乘，則宜取古一孛，見宿度日時刻，距今一孛，見宿度日時刻，用距積年月日時刻，以月孛周天之數 而一，或可得也。至於紫氣，則古來所見者少，亦須候其前後兩見，依求月孛術步之亦得，然所見既少，俟見而測 知何時，姑立法可也。
但由於邢雲路以紫氣與月孛兩曜極為罕見，故其說仍只停留在理論的層次，而未曾付諸實證。