理解LDL分解的例子

例如一個原始矩陣：
A = | 4 2 |
| 2 5 |

可採用以下步驟來計算LDL分解

1、解始化一個單位下三角矩陣L，以及對角矩陣D

L = | 1 0 |
| l 1 |

D = | d1 0 |
| 0 d2 |

2、根據LDL分解的定義，我們有 A = L * D * L^T。我們需要找到合適的l和d值，使得這個等式成立。首先計算L和D的第一個元素：

4 = 1 * d1 * 1 + 0 * 0 * l
所以，d1 = 4。

2 = 1 * 0 * 1 + 0 * l * 1

這裡我們可以選擇任意非負值作為l，例如l = 0。

3、接下來，我們計算L和D的第二個元素。首先計算L的第二行第一個元素l：

2 = 0 * d1 * 1 + l * d2
所以，l = 2 / d1 = 0.5
然後計算D的第二個對角元素d2：

5 = 1 * d1 * l + l^2 * d2
代入已知的d1和l的值，我們得到：
5 = 4 * 0.5 + (0.5)^2 * d2
解這個方程，我們得到 d2 = 3.75。

4、最後，我們得到了LDL分解的結果：

L = | 1 0.5 |
| 0 1 |

D = | 4 0 |
| 0 3.75|

L * D * L^T 的結果將等於原始矩陣A。